1. 介紹

Rhino 的基本幾何物件包括點、曲線、曲面、多重曲面、實體、輕量化擠出物件、細分曲面和網格物件。本章將詳細介紹 Rhino 建模的數學基礎。

本篇指南涵蓋 Rhino 支援的各種幾何物件類型。本質上，這些幾何物件是指 Rhino 可以讀取 (開啟)、建立和寫入 (儲存) 的物件。

幾何物件類型

本文中的幾何類型是指在 CAD 建模器中使用不同的數學函數表示 3D 形狀的不同方式。不同的建模器支援各種不同的幾何物件類型。最常見的是 NURBS 和網格。支援多種不同的幾何物件類型有兩個主要優勢：

1. 因應不同的需求:每種幾何物件都有其優點，可更容易使用於建立特定形狀或下游其他目的，例如數位雕刻或製造。
2. 與其他程式互通:從只有支援特定幾何物件類型的其他應用程式匯入或儲存檔案。

Rhino 支援的幾何物件類型如下：

1. NURBS 幾何
2. 細分曲面 (SubD)
3. 網格

Rhino 可以在不同的幾何物件類型之間切換。有些轉換很容易，有些則需要一些操作。

這是 Rhino 主要的幾何物件類型，能夠實現高精確度、緊密公差的自由造型。它可以讓您在設計時能夠自由地使用幾何物件進行建模並用於製造。接下來，我們將詳細了解 NURBS 物件類型。

NURBS 幾何物件

NURBS (非一致有理 B 雲形線) 是一種數學表示，可以精確地建模任何形狀，從簡單的 2D 線、圓、圓弧或立方體，到最複雜的 3D 自由曲面或實體。由於其靈活性和準確性，NURBS 模型可用於從插畫、動畫到製造業等任何流程。

NURBS 幾何物件是 3D 設計師的行業標準，在 3D 領域，自由流動的形狀以及功能與形式的平衡至關重要。Rhino 廣泛應用於船舶、航空航太以及汽車內外裝設計。家用電器、辦公設備、家具、醫療和運動器材、鞋類以及珠寶製造商也使用 Rhino 建立自由形狀。

點

點 物件可標記 3D 空間中的單一個點。它們是 Rhino 中最簡單的物件。點可以放置在空間中的任何位置。它們由 X、Y 和 Z 座標定義，通常用作佔位符。一般來說，曲面/網格/SubD 控制點/頂點是相等的。使用 Point 指令可在 Rhino 建立此物件類型。

曲線 (NURBS)

Rhino 曲線 就像一條電線，它可以是直的，也可以是彎曲的，可以是開放的，也可以是封閉的。多重曲線是由多條曲線的頭尾相連而成。

您也可以使用曲線控制點建立曲線，並讓曲線通過指定的點。

曲面 (NURBS)

曲面 就像一張沒有厚度的矩形彈性橡膠片。NURBS 形式可以表示簡單的形狀，例如平面和圓柱體，以及自由形狀的雕塑曲面。曲面可以是開放的，也可以是封閉的。封閉的曲面也可以稱為 實體 ，因為它們可以計算體積。

在 Rhino 建立曲面主要有兩種方法：

1. 從原始曲面開始。
2. 從現有曲線開始。

曲面的剖析

我們來談談曲面的可見元素。 曲面的一個重要組成部分是 控制點 結構。要顯示控制點，請選取物件並按 F10 。

• 控制點 定義 NURBS 曲線或曲面的形狀。大多數的情況下，控制點不會碰觸到曲面。它們以格狀排列，將曲面固定到位。移動這些控制點會改變物件的形狀。

• 結構線 是由可見的線組成的網絡，它們會穿過曲面，幫助我們理解曲面在空間中的流動和形狀，通常稱為結構線。這些曲線有助於直觀地展現曲面的形狀。結構線本身並不會定義曲面，只是一種視覺輔助工具，方便您在螢幕上查看曲面。選取某個曲面後，其所有結構線都會以明顯的顏色顯示。

• 邊緣曲線界定曲面的邊界。您可以識別它們，因為它們顯示的顏色會比結構線略暗。在 多重曲面 ，它們定義組成多重曲面的每個曲面的外邊界。

• 曲面接縫是由於旋轉曲面或由封閉曲線擠壓而成的曲面所形成的一種特殊邊緣情況。本質上，是指邊緣的曲面環繞自身以封閉其起始處的曲面。

曲面的內容

曲面方向

NURBS 曲面具有四邊形的特性。您可以透過 控制點 結構和 結構線 的方向注意到這一點。因此，我們討論兩個方向，通常稱為 U 和 V 。

開放 vs 封閉曲面

曲面可以是開放的，也可以是封閉的。開放曲面是表示形狀的薄幾何物件，但它沒有厚度。想像一塊橡膠或一張紙。您可以從上面看到這個曲面，也可以從它的底面 (左圖藍色部分) 看到它。而封閉曲面，雖然您看不到它的內部，但它是一個空心物體，可以想像一下充氣的氣球 (右圖)。

未修剪 vs 修剪曲面

未修剪曲面是指所有邊緣均為「原始」 NURBS 曲面邊緣。除奇點外，未修剪曲面始終包含四條邊緣。這些邊緣是真正數學的邊。使用未修剪曲面建模的優點在於，Rhino 的某些指令 (例如 MatchSrf 或 MergeSrf ) 僅接受未修剪的幾何物件。

修剪曲面是在用曲線或其他曲面修剪 Trim 或分割 Split 曲面時建立的。某些指令 (例如 PlanarSrf ) 可以直接建立修剪曲面。 曲面的形狀仍然由一組以矩形圖案排列的 控制點 所定義。

了解曲面是否被修剪非常重要，可以使用 Properties 指令列出其修剪或未修剪狀態。

修剪後的曲面可能大於修剪後的邊緣，但 Rhino 不會顯示修剪曲線以外的區域，所以您看不到底層曲面。每個修剪後的曲面都會保留底層曲面的幾何資訊。您可以使用 Untrim (取消修剪) 指令移除修剪邊界，恢復「原始」或「自然」的邊緣。

如果您有一條修剪曲線貫穿整個曲面，修剪曲線本身與曲面的控制點結構沒有任何實際關係。您可以透過選取一個修剪曲面並開啟其控制點 (選取它並按 F10 ) 查看這一點。您可以看到整個底層曲面的控制點。

奇點

奇點是指一個邊緣摺疊成一個點。通常，曲線繞軸旋轉形成的曲面在旋轉軸處具有奇點，可以想像一下球體的極點。

階數 (曲線或曲面)

四個要素定義 NURBS 幾何物件：

• 階數
• 控制點
• 節點
• 估算法則

NURBS 函數是有理多項式。 NURBS 函數的階數即為多項式的階數。 多項式是類似 y = 3x3 –2x +1 的函數。多項式的「階數」是變數的最大冪。例如，3x3 –2x + 1 的階數為 3；–x5 + x2 的階數為 5，依此類推。

從 NURBS 建模的角度來看，(階數 -1) 是每個跨距中可以實現的最大「彎曲」數。這決定了您對曲線形狀的影響程度。

舉個例子:

• 一條線的階數為1。它有兩個控制點，沒有彎曲。

  

• 拋物線、雙曲線、圓弧和圓 (圓錐曲線) 的階數均為2。它們有三個控制點，一個彎曲。

  

• 三次貝茲曲線為 3 階。如果將其控制點排列成鋸齒形，則可以得到兩個彎曲。

  

控制點

控制點會影響曲線或曲面的形狀。控制點包含位置、方向和權重等資訊。您可以透過移動控制點的位置，細微地改變曲線或曲面的形狀。 Rhino 提供許多編輯控制點的工具。後續的一些教學會展示控制點的操作。

移動控制點時，曲線或曲面會發生變化，Rhino 會平滑地重新繪製它。Rhino 的變動指令，例如 Move (移動)、 Copy (複製)、 Rotate (旋轉) 和 Scale (縮放)，可以操作單一或多個點。

多重曲面 (NURBS)

多重曲面 由兩個或多個連接在一起的曲面組成。封閉某空間體積的多重曲面可定義一個實體。

SolidPtOn 指令會啟用類似多重曲面控制點的掣點。但是，編輯這些點時應限制在線性方向上，以保持物件結構的完整。

實體

實體 是指包含一定體積的曲面或多重曲面。當曲面或多重曲面完全封閉時，即可建立實體。Rhino 可以建立單曲面實體、多重曲面實體、擠出實體、網格實體和 SubD 實體。

單一曲面可以環繞自體和連接。範例指令包括 Sphere (球體)、 Torus (環狀體) 和 Ellipsoid (橢圓體)。 控制點 可以顯示在單曲面實體上，並可移動以變更曲面。

Rhino 的一些指令可以建立多重曲面實體。 Pyramid (金字塔)、 Cone (圓錐體)和 TruncatedCone (平頂錐體) 是建立多重曲面實體的指令範例。

SubD 幾何物件

Rhino 的 SubD 物件 是高精確度的 Catmull-Clark 細分曲面，旨在快速建模和編輯複雜的有機形狀。

Rhino 的 SubD 由頂點、邊緣和面組成。您可以推拉這些元素塑造物件。SubD 可以想像成黏土材質。

網格幾何物件

網格 是定義多面體形狀的頂點和多邊形的集合。在 Rhino 中，網格由三角形和四邊形組成。與 NURBS 一樣，網格可以是開放的，也可以是封閉的 (實體)。

許多程式使用多邊形網格表示幾何物件，用於彩現、動畫、數位製造、視覺化和有限元素分析。 Mesh 指令可以將 NURBS 幾何物件轉換為多邊形網格。Rhino 可以讀取和寫入多種網格格式的檔案。若要建立網格物件，可以使用 MeshSphere (球體)、 MeshBox (立方體) 和 MeshCylinder (圓柱體) 指令。

除此之外，Rhino 還有其它可讓您使用網格的指令。

輕量化擠出物件

輕量化擠出物件 只能使用輪廓曲線和長度作為輸入訊息。，而不是 NURBS 物件所需的網狀曲線。 Box 、 Cylinder 、 Tube 和 ExtrudeCrv 指令可以建立擠出物件。擠出物件可以用平面的蓋子封閉或是開放的。

如有必要，這些物件可以透過某些指令將其轉換為多重曲面，增加其它訊息進行編輯。使用 PointsOn 指令或按 F10 開啟擠出點。

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